与えられた式 $(a+b)(b+c)(c+a)+abc$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)(b+c)(c+a)+abc$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)(b+c)$ を展開します。

$(a+b)(b+c) = ab + ac + b^2 + bc$

次に、$(ab + ac + b^2 + bc)(c+a)$ を展開します。

$(ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + 2abc + ac^2 + b^2c + bc^2$

最後に、これに $abc$ を加えます。

$a^2b + a^2c + ab^2 + 2abc + ac^2 + b^2c + bc^2 + abc = a^2b + a^2c + ab^2 + 3abc + ac^2 + b^2c + bc^2$

ここで、式を整理するために、因数分解を試みます。

$a^2b + a^2c + ab^2 + 3abc + ac^2 + b^2c + bc^2 = a^2(b+c) + a(b^2 + 3bc + c^2) + bc(b+c)$

さらに式を整理すると、以下のようになります。

$a^2(b+c) + ab^2 + 3abc + ac^2 + bc(b+c) = a^2(b+c) + ab^2 + abc + 2abc + ac^2 + b^2c + bc^2 = a^2(b+c) + a(b^2+2bc+c^2) + bc(b+c) = a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c) = (b+c)(a^2 + a(b+c) + bc) = (b+c)(a^2 + ab + ac + bc) = (b+c)(a(a+b) + c(a+b)) = (b+c)(a+b)(a+c)$

したがって、$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b)(a+c)(b+c)$を展開した結果に$abc$を加えると、

$a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc + abc = a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

ここで、

$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(bc + ba + c^2 + ca) = abc + ba^2 + ac^2 + ca^2 + b^2c + ab^2 + bc^2 + cab = a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc$

したがって、

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc + abc = a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

一方、

$(a+b)(b+c)(c+a)+abc = (a+b)(bc+c^2+ab+ac)+abc=abc+c^2a+a^2b+a^2c+b^2c+bc^2+ab^2+abc+abc=a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

3. 最終的な答え

$a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

または、$(a+b)(b+c)(c+a)+abc$