(1) $(x-2)^{11}$ の展開式における $x$ の係数と定数項を求めよ。 (2) $28^{11}$ を $900$ で割った余りを求めよ。

1. 問題の内容

(1) $(x-2)^{11}$ の展開式における $x$ の係数と定数項を求めよ。

(2) $28^{11}$ を $900$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を用いる。$(x-2)^{11}$ の展開式の一般項は ${}_{11}C_r x^r (-2)^{11-r}$ である。

$x$ の係数を求めるときは $r=1$ を代入し、定数項を求めるときは $r=0$ を代入する。

(2) $28^{11} = (30-2)^{11}$ と変形し、二項定理を用いて展開する。

$28^{11} = (30-2)^{11} = \sum_{r=0}^{11} {}_{11}C_r (30)^r (-2)^{11-r}$

$900$ で割った余りを求めたいので、$30^2=900$ 以上の項は $900$ で割り切れる。したがって、$r=0$ と $r=1$ の項だけを考えれば良い。

$r=0$ の項は ${}_{11}C_0 (30)^0 (-2)^{11} = -2^{11}$

$r=1$ の項は ${}_{11}C_1 (30)^1 (-2)^{10} = 11 \cdot 30 \cdot 2^{10}$

したがって、

$28^{11} \equiv -2^{11} + 11 \cdot 30 \cdot 2^{10} \pmod{900}$

$28^{11} \equiv 2^{10}(-2 + 330) \pmod{900}$

$28^{11} \equiv 1024 \cdot 328 \pmod{900}$

$1024 \equiv 124 \pmod{900}$ であるから、

$28^{11} \equiv 124 \cdot 328 \pmod{900}$

$124 \cdot 328 = 40672$

$40672 = 900 \cdot 45 + 172$

よって、$28^{11} \equiv 172 \pmod{900}$

3. 最終的な答え

(1) $x$ の係数は $-11 \cdot 2^{10} = -11264$、定数項は $(-2)^{11} = -2048$

(2) $28^{11}$ を $900$ で割った余りは $172$