$\frac{2}{\sqrt{5}-2}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{2}{\sqrt{5}-2}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{2}{\sqrt{5}-2}$ を有理化します。

分母と分子に $\sqrt{5}+2$ を掛けます。

$\frac{2}{\sqrt{5}-2} = \frac{2(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{2(\sqrt{5}+2)}{5-4} = 2(\sqrt{5}+2) = 2\sqrt{5}+4$

ここで、$\sqrt{5}$ の値について考えます。

$2^2 = 4$ であり、$3^2 = 9$ であるため、$2 < \sqrt{5} < 3$ が成り立ちます。

より厳密には、$2.2^2 = 4.84$ であり、$2.3^2 = 5.29$ であるため、$2.2 < \sqrt{5} < 2.3$ が成り立ちます。

したがって、$2.2 < \sqrt{5} < 2.3$ より、$2 \times 2.2 < 2\sqrt{5} < 2 \times 2.3$

つまり、$4.4 < 2\sqrt{5} < 4.6$ が成り立ちます。

$4.4+4 < 2\sqrt{5} + 4 < 4.6 + 4$

したがって、$8.4 < 2\sqrt{5}+4 < 8.6$ となります。

$2\sqrt{5}+4$ の整数部分 $a$ は 8 であることがわかります。

小数部分 $b$ は、$b = (2\sqrt{5}+4) - a$ で求められます。

$b = (2\sqrt{5}+4) - 8 = 2\sqrt{5} - 4$

3. 最終的な答え

$a = 8$

$b = 2\sqrt{5} - 4$