問題は、与えられた式 $E$ を計算することです。式は、二重の和の形で与えられており、二項係数を含んでいます。 $E = \sum_{m=0}^{n} 3^m \cdot {}_nC_m \left(\frac{2}{3}\right)^m \left(\frac{1}{3}\right)^{n-m} = \sum_{m=0}^{n} {}_nC_m \left(\frac{6}{3}\right)^m \left(\frac{1}{3}\right)^{n-m}$

1. 問題の内容

問題は、与えられた式 $E$ を計算することです。式は、二重の和の形で与えられており、二項係数を含んでいます。

$E = \sum_{m=0}^{n} 3^m \cdot {}_nC_m \left(\frac{2}{3}\right)^m \left(\frac{1}{3}\right)^{n-m} = \sum_{m=0}^{n} {}_nC_m \left(\frac{6}{3}\right)^m \left(\frac{1}{3}\right)^{n-m}$

2. 解き方の手順

与えられた式は二項定理の形に似ています。二項定理は次のように表されます。

$(x+y)^n = \sum_{m=0}^{n} {}_nC_m x^m y^{n-m}$

与えられた式を二項定理と比較すると、$x = \frac{6}{3} = 2$ および $y = \frac{1}{3}$ であることがわかります。したがって、与えられた式は次のように書き換えることができます。

$E = \sum_{m=0}^{n} {}_nC_m \left(\frac{6}{3}\right)^m \left(\frac{1}{3}\right)^{n-m} = \left(\frac{6}{3} + \frac{1}{3}\right)^n = \left(\frac{7}{3}\right)^n$

3. 最終的な答え

したがって、最終的な答えは

$\left(\frac{7}{3}\right)^n$