複素数 $z = 6 + 2i$ が与えられたとき、点 $z$ を原点を中心として $\frac{\pi}{4}$ だけ回転させた点を表す複素数を求める。

1. 問題の内容

複素数 $z = 6 + 2i$ が与えられたとき、点 $z$ を原点を中心として $\frac{\pi}{4}$ だけ回転させた点を表す複素数を求める。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を角度 $\theta$ だけ回転させるには、$z$ に $e^{i\theta}$ を掛ければよい。

この問題では、$\theta = \frac{\pi}{4}$ であるから、$e^{i\frac{\pi}{4}}$ を求める。

オイラーの公式より、$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ である。

したがって、

$e^{i\frac{\pi}{4}} = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、回転後の複素数を $z'$ とすると、

$z' = z \cdot e^{i\frac{\pi}{4}} = (6 + 2i)(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 6(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 6i(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2i(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2i^2(\frac{\sqrt{2}}{2})$

$z' = 3\sqrt{2} + 3i\sqrt{2} + i\sqrt{2} - \sqrt{2}$

$z' = (3\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (3\sqrt{2} + \sqrt{2})i = 2\sqrt{2} + 4i\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}i$