与えられた式 $x^6 - 2x^3 + 1$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^6 - 2x^3 + 1$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 = A$ とおくことで、与えられた式は

$A^2 - 2A + 1$

と表せる。

これは、$A$に関する二次式であり、

$(A-1)^2$

と因数分解できる。

次に、$A$ を $x^3$ に戻すと、

$(x^3 - 1)^2$

となる。

さらに、$x^3 - 1$ は $x^3 - 1^3$ と見ることができ、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用して因数分解できる。

したがって、

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

となる。

よって、元の式は

$((x - 1)(x^2 + x + 1))^2 = (x - 1)^2 (x^2 + x + 1)^2$

と因数分解される。

3. 最終的な答え

$(x - 1)^2 (x^2 + x + 1)^2$