複素数 $z = 6 + 2i$ を、原点を中心に $-\frac{\pi}{3}$ だけ回転させた点を表す複素数を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z = 6 + 2i$ を、原点を中心に $-\frac{\pi}{3}$ だけ回転させた点を表す複素数を求める問題です。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を原点を中心に角 $\theta$ だけ回転させることは、$z$ に $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ を掛けることに相当します。

今回は $\theta = -\frac{\pi}{3}$ なので、$e^{-i\frac{\pi}{3}} = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3})$ を計算します。

$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、 $e^{-i\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ となります。

回転後の複素数を $z'$ とすると、$z' = z \cdot e^{-i\frac{\pi}{3}} = (6+2i)(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i)$ となります。

これを計算します。

$z' = (6+2i)(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 6(\frac{1}{2}) + 6(-\frac{\sqrt{3}}{2}i) + 2i(\frac{1}{2}) + 2i(-\frac{\sqrt{3}}{2}i) = 3 - 3\sqrt{3}i + i - \sqrt{3}i^2 = 3 - 3\sqrt{3}i + i + \sqrt{3} = (3+\sqrt{3}) + (1-3\sqrt{3})i$

3. 最終的な答え

$(3+\sqrt{3}) + (1-3\sqrt{3})i$