ある放物線を $x$ 軸方向に1、$y$ 軸方向に-2だけ平行移動したとき、移動後の放物線は $y = -2x^2 + 3x - 1$ であった。もとの放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

ある放物線を $x$ 軸方向に1、$y$ 軸方向に-2だけ平行移動したとき、移動後の放物線は $y = -2x^2 + 3x - 1$ であった。もとの放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

平行移動の逆変換を考えます。$x$ 軸方向に1、$y$ 軸方向に-2だけ平行移動した結果が $y = -2x^2 + 3x - 1$ であるので、移動前の放物線は、$x$軸方向に $-1$、$y$軸方向に $2$ だけ平行移動させれば得られます。

平行移動の変換は、$x \rightarrow x+1$、$y \rightarrow y-2$ となります。

したがって、元の放物線の方程式は、移動後の放物線の方程式 $y = -2x^2 + 3x - 1$ の $x$ を $x-1$ に、$y$ を $y+2$ に置き換えることで得られます。

すなわち、

$y+2 = -2(x-1)^2 + 3(x-1) - 1$

展開して整理します。

$y+2 = -2(x^2 - 2x + 1) + 3x - 3 - 1$

$y+2 = -2x^2 + 4x - 2 + 3x - 4$

$y = -2x^2 + 7x - 6 - 2$

$y = -2x^2 + 7x - 8$

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 + 7x - 8$