$(2x^2 - 3xy - y^2)(3x^2 - 2xy + y^2)$ を展開したとき、$x^3y$ と $x^2y^2$ の項の係数をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

$(2x^2 - 3xy - y^2)(3x^2 - 2xy + y^2)$ を展開したとき、$x^3y$ と $x^2y^2$ の項の係数をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開することを考えます。それぞれの項を掛け合わせて、$x^3y$と$x^2y^2$の項が現れる組み合わせを探します。

(1) $x^3y$の項について:

最初の括弧から$2x^2$を取り、次の括弧から$-2xy$を取ると、$(2x^2)(-2xy) = -4x^3y$

最初の括弧から$-3xy$を取り、次の括弧から$3x^2$を取ると、$(-3xy)(3x^2) = -9x^3y$

したがって、$x^3y$の係数は $-4 - 9 = -13$

(2) $x^2y^2$の項について:

最初の括弧から$2x^2$を取り、次の括弧から$y^2$を取ると、$(2x^2)(y^2) = 2x^2y^2$

最初の括弧から$-3xy$を取り、次の括弧から$-2xy$を取ると、$(-3xy)(-2xy) = 6x^2y^2$

最初の括弧から$-y^2$を取り、次の括弧から$3x^2$を取ると、$(-y^2)(3x^2) = -3x^2y^2$

したがって、$x^2y^2$の係数は $2 + 6 - 3 = 5$

3. 最終的な答え

(1) $x^3y$ の係数：-13

(2) $x^2y^2$ の係数：5