実数全体を全体集合 $U$ とし、部分集合 $A = \{x | x^2 \ge 4\}$, $B = \{x | 1 \le x \le 2\}$, $C = \{1, 2\}$, $D = \{-4, -2, 1, 2\}$ が与えられています。 (ア) $x \in B \cap \overline{D}$ が $x \in \overline{A}$ であるための条件を答えます。 (イ) $x \in (\overline{A} \cup B) \cap D$ が $x \in C$ であるための条件を答えます。 選択肢は以下の通りです。 0. 必要条件であるが、十分条件ではない 1. 十分条件であるが、必要条件ではない

1. 問題の内容

実数全体を全体集合 $U$ とし、部分集合 $A = \{x | x^2 \ge 4\}$, $B = \{x | 1 \le x \le 2\}$, $C = \{1, 2\}$, $D = \{-4, -2, 1, 2\}$ が与えられています。

(ア) $x \in B \cap \overline{D}$ が $x \in \overline{A}$ であるための条件を答えます。

(イ) $x \in (\overline{A} \cup B) \cap D$ が $x \in C$ であるための条件を答えます。

選択肢は以下の通りです。

0. 必要条件であるが、十分条件ではない

1. 十分条件であるが、必要条件ではない

2. 必要十分条件である

3. 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(ア)

まず、集合 $A, B, C, D$ を具体的に考えます。

$A = \{x | x \le -2 \text{ または } x \ge 2\}$

$\overline{A} = \{x | -2 < x < 2\}$

$B = \{x | 1 \le x \le 2\}$

$D = \{-4, -2, 1, 2\}$

$\overline{D} = \{x | x \ne -4, -2, 1, 2\}$

$B \cap \overline{D} = \{x | 1 \le x \le 2\} \cap \{x | x \ne -4, -2, 1, 2\} = \{x | 1 < x < 2\}$

$x \in B \cap \overline{D}$ ならば $1 < x < 2$ であり、これは $-2 < x < 2$ を満たすので $x \in \overline{A}$ です。

したがって、$x \in B \cap \overline{D}$ は $x \in \overline{A}$ であるための十分条件です。

一方、$x \in \overline{A}$ であっても、$x = 0$ のように $x \in B \cap \overline{D}$ でない場合があります。

したがって、$x \in B \cap \overline{D}$ は $x \in \overline{A}$ であるための必要条件ではありません。

よって、(ア) の答えは 1 (十分条件であるが、必要条件ではない) です。

(イ)

$\overline{A} \cup B = \{x | -2 < x < 2\} \cup \{x | 1 \le x \le 2\} = \{x | -2 < x \le 2\}$

$(\overline{A} \cup B) \cap D = \{x | -2 < x \le 2\} \cap \{-4, -2, 1, 2\} = \{1, 2\}$

$x \in (\overline{A} \cup B) \cap D$ ならば $x = 1$ または $x = 2$ であり、これは $x \in C = \{1, 2\}$ を満たします。

したがって、$x \in (\overline{A} \cup B) \cap D$ は $x \in C$ であるための十分条件です。

一方、$x \in C$ ならば $x = 1$ または $x = 2$ であり、これは $(\overline{A} \cup B) \cap D = \{1, 2\}$ を満たします。

したがって、$x \in (\overline{A} \cup B) \cap D$ は $x \in C$ であるための必要条件です。

よって、(イ) の答えは 2 (必要十分条件である) です。

3. 最終的な答え

ア：1

イ：2