$a$ を正の定数とする。不等式 $|2x-3| \le a$ について、以下の問いに答える。 (1) 不等式 $|2x-3| \le a$ を解け。 (2) 不等式 $|2x-3| \le a$ を満たす整数 $x$ がちょうど6個存在するような、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とする。不等式 $|2x-3| \le a$ について、以下の問いに答える。

(1) 不等式 $|2x-3| \le a$ を解け。

(2) 不等式 $|2x-3| \le a$ を満たす整数 $x$ がちょうど6個存在するような、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $|2x-3| \le a$ を解く。

絶対値の定義より、

$-a \le 2x-3 \le a$

各辺に3を足すと、

$3 - a \le 2x \le 3 + a$

各辺を2で割ると、

$\frac{3 - a}{2} \le x \le \frac{3 + a}{2}$

(2) $\frac{3 - a}{2} \le x \le \frac{3 + a}{2}$ を満たす整数 $x$ がちょうど6個存在するような、$a$ の範囲を求める。

$\frac{3 - a}{2} \le x \le \frac{3 + a}{2}$ の範囲に含まれる整数が6個である条件を考える。

$x$ の値の範囲の中心は $x = \frac{3}{2}$ である。

$x = \frac{3}{2} = 1.5$ の近傍の整数は、 $-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$などである。

6個の整数解を持つことから、$x$ は連続する整数であると考えるのが自然である。

例えば、$x = -1, 0, 1, 2, 3, 4$ とすると、条件を満たす。

このとき、$x$ の最小値は $-1$、最大値は $4$ である。

$-1$ が含まれるための条件は、 $\frac{3 - a}{2} \le -1$

$4$ が含まれるための条件は、 $\frac{3 + a}{2} \ge 4$

$x$ の範囲は $\frac{3 - a}{2} \le x \le \frac{3 + a}{2}$ なので、6個の整数解を持つ条件は、

$n \le \frac{3+a}{2} < n+1$ および $n-5 \ge \frac{3-a}{2} > n-6$ を満たす整数 $n$ が存在することである。

6個の整数を $k, k+1, k+2, k+3, k+4, k+5$ とすると、

$k \ge \frac{3-a}{2}$ かつ $k+5 \le \frac{3+a}{2}$

さらに、$k-1 < \frac{3-a}{2}$ かつ $k+6 > \frac{3+a}{2}$

となる。

もし整数解が $-1, 0, 1, 2, 3, 4$ である場合、

$-1 \ge \frac{3-a}{2}$ より $-2 \ge 3-a$, よって $a \ge 5$

$4 \le \frac{3+a}{2}$ より $8 \le 3+a$, よって $a \ge 5$

$-2 < \frac{3-a}{2}$ より $-4 < 3-a$, よって $a < 7$

$5 > \frac{3+a}{2}$ より $10 > 3+a$, よって $a < 7$

$x=-1, 0, 1, 2, 3, 4$ が解となる場合、$5 \le a < 7$

$\frac{3-a}{2} \le x \le \frac{3+a}{2}$ に含まれる整数が6個であるとき、その整数の範囲は連続する整数である必要がある。

$k$ を整数として、その範囲が $[k, k+5]$ であるとすると、

$k \ge \frac{3-a}{2}$ かつ $k+5 \le \frac{3+a}{2}$ が必要となる。

また、$k-1 < \frac{3-a}{2}$ かつ $k+6 > \frac{3+a}{2}$ が必要となる。

これらの条件を整理すると、$2k - 3 \ge -a$ かつ $2k + 7 \le a$ および $2k-5 < -a$ かつ $2k+9 > a$

整理すると、$3 - 2k \le a < 5 - 2k$ および $2k+7 \le a < 2k+9$

すなわち、$\frac{3-a}{2}$ 以上で最小の整数を $n$ とすると、

$n + 5 \le \frac{3+a}{2} < n + 6$ でなければならない。

$\frac{3-a}{2} \le n < \frac{3-a}{2} + 1$

$2n \le 3 - a < 2n + 2$

$-2n \ge a - 3 > -2n - 2$

$3 - 2n \ge a > 1 - 2n$

$\frac{3+a}{2} < n+6$ より $3 + a < 2n + 12$, $a < 2n + 9$

$\frac{3+a}{2} \ge n+5$ より $3 + a \ge 2n + 10$, $a \ge 2n + 7$

$2n + 7 \le a < 2n + 9$

$2n + 7 \le a < 2n + 9$ および $1 - 2n < a \le 3 - 2n$ を満たす $n$ が存在する必要がある。

整数 $x$ の値が $n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5$ であるとき、

$\frac{3-a}{2} \le n$ より $3-a \le 2n$ よって $a \ge 3 - 2n$

$\frac{3+a}{2} \ge n+5$ より $3+a \ge 2n + 10$ よって $a \ge 2n + 7$

$\frac{3-a}{2} > n-1$ より $3-a > 2n - 2$ よって $a < 5 - 2n$

$\frac{3+a}{2} < n+6$ より $3+a < 2n + 12$ よって $a < 2n + 9$

よって、$2n+7 \le a < 2n+9$

この範囲に含まれる整数 $a$ は $2n+7$ と $2n+8$ の2つである。

したがって、$a$ が整数である場合は $a = 2n+7$ または $a = 2n+8$ となる。

$2n + 7 \le a < 2n + 9$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3 - a}{2} \le x \le \frac{3 + a}{2}$

(2) $5 \le a < 7$