複素数平面上の点 $z$ が与えられたとき、次の点がどのように移動した点であるかを答える問題です。 (1) $(1-i)z$ (2) $(-1+\sqrt{3}i)z$

1. 問題の内容

複素数平面上の点 $z$ が与えられたとき、次の点がどのように移動した点であるかを答える問題です。

(1) $(1-i)z$

(2) $(-1+\sqrt{3}i)z$

2. 解き方の手順

複素数 $z$ に複素数 $w$ を掛けることは、 $z$ を原点中心に $\arg(w)$ だけ回転させ、さらに $|w|$ 倍することを意味します。

(1) $1-i$ について考えます。

$1-i$ の絶対値は $|1-i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ です。

$1-i$ の偏角は $\arg(1-i) = -\frac{\pi}{4}$ です。

したがって、$(1-i)z$ は $z$ を原点中心に $-\frac{\pi}{4}$ (または $-45$ 度) 回転させ、$\sqrt{2}$ 倍した点です。

(2) $-1+\sqrt{3}i$ について考えます。

$-1+\sqrt{3}i$ の絶対値は $|-1+\sqrt{3}i| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$ です。

$-1+\sqrt{3}i$ の偏角は $\arg(-1+\sqrt{3}i) = \frac{2\pi}{3}$ (または $120$ 度) です。

したがって、$(-1+\sqrt{3}i)z$ は $z$ を原点中心に $\frac{2\pi}{3}$ (または $120$ 度) 回転させ、2倍した点です。

3. 最終的な答え

(1) 点 $z$ を原点中心に $-\frac{\pi}{4}$ (または $-45$ 度) 回転させ、$\sqrt{2}$ 倍した点。

(2) 点 $z$ を原点中心に $\frac{2\pi}{3}$ (または $120$ 度) 回転させ、2倍した点。