成分が複素数である行列 $A$ と $B$ について、以下の性質を示す問題です。 * $\overline{A+B} = \overline{A} + \overline{B}$ * $(A+B)^* = A^* + B^*$ * $\overline{A\cdot B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ * $(AB)^* = B^*A^*$ ここで、$\overline{A}$ は行列 $A$ の各成分の複素共役を取り、 $A^* = {}^t\overline{A}$（$\overline{A}$の転置）を表します。

1. 問題の内容

成分が複素数である行列 $A$ と $B$ について、以下の性質を示す問題です。

* $\overline{A+B} = \overline{A} + \overline{B}$

* $(A+B)^* = A^* + B^*$

* $\overline{A\cdot B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$

* $(AB)^* = B^*A^*$

ここで、$\overline{A}$ は行列 $A$ の各成分の複素共役を取り、 $A^* = {}^t\overline{A}$（$\overline{A}$の転置）を表します。

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A+B} = \overline{A} + \overline{B}$ の証明

行列 $A = (a_{ij})$ と $B = (b_{ij})$ を考えます。このとき、$A+B = (a_{ij} + b_{ij})$ となります。

$\overline{A+B}$ は $A+B$ の各成分の複素共役を取るので、$\overline{A+B} = (\overline{a_{ij} + b_{ij}}) = (\overline{a_{ij}} + \overline{b_{ij}})$ となります。

一方、$\overline{A} = (\overline{a_{ij}})$、$\overline{B} = (\overline{b_{ij}})$ なので、$\overline{A} + \overline{B} = (\overline{a_{ij}} + \overline{b_{ij}})$ となります。

よって、$\overline{A+B} = \overline{A} + \overline{B}$ が成立します。

(2) $(A+B)^* = A^* + B^*$ の証明

$(A+B)^* = {}^t(\overline{A+B})$ です。

(1)より、$\overline{A+B} = \overline{A} + \overline{B}$ なので、$(A+B)^* = {}^t(\overline{A} + \overline{B}) = {}^t\overline{A} + {}^t\overline{B}$ となります。

ここで、${}^t\overline{A} = A^*$、${}^t\overline{B} = B^*$ なので、$(A+B)^* = A^* + B^*$ が成立します。

(3) $\overline{A\cdot B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ の証明

$A = (a_{ij})$、 $B = (b_{ij})$ とします。

$AB$ の $(i, j)$ 成分は $\sum_k a_{ik}b_{kj}$ です。

したがって、$\overline{AB}$ の $(i, j)$ 成分は $\overline{\sum_k a_{ik}b_{kj}} = \sum_k \overline{a_{ik}b_{kj}} = \sum_k \overline{a_{ik}}\overline{b_{kj}}$ です。

一方、$\overline{A} = (\overline{a_{ij}})$、$\overline{B} = (\overline{b_{ij}})$ なので、$\overline{A}\cdot \overline{B}$ の $(i, j)$ 成分は $\sum_k \overline{a_{ik}}\overline{b_{kj}}$ です。

したがって、$\overline{A\cdot B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ が成立します。

(4) $(AB)^* = B^*A^*$ の証明

$(AB)^* = {}^t(\overline{AB})$ です。

(3)より、$\overline{AB} = \overline{A}\cdot \overline{B}$ なので、$(AB)^* = {}^t(\overline{A}\cdot \overline{B}) = {}^t(\overline{B}) \cdot {}^t(\overline{A})$ となります。

ここで、${}^t(\overline{A}) = A^*$、${}^t(\overline{B}) = B^*$ なので、 $(AB)^* = B^*A^*$ が成立します。

3. 最終的な答え

以下の性質が証明されました。

* $\overline{A+B} = \overline{A} + \overline{B}$

* $(A+B)^* = A^* + B^*$

* $\overline{A\cdot B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$

* $(AB)^* = B^*A^*$