与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ の逆行列を求め、逆行列が存在しない場合は「正則でない」と答えます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ の逆行列を求め、逆行列が存在しない場合は「正則でない」と答えます。

2. 解き方の手順

行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めるためには、まず行列 $A$ と単位行列 $I$ を並べた拡大行列 $[A | I]$ を作り、行基本変形を行って $A$ を単位行列に変換します。このとき、$I$ が $A^{-1}$ に変換されます。

拡大行列は以下のようになります。

$$\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$$

まず、2行目の1倍を1行目から引きます (R1 = R1 - R2)。

$$\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$$

次に、3行目の1倍を2行目から引きます (R2 = R2 - R3)。

$$\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$$

最後に、3行目の1倍を1行目に足します (R1 = R1 + R3)。

$$\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$$

左側の行列が単位行列になったので、右側の行列が $A^{-1}$ となります。

3. 最終的な答え

逆行列は $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ です。