与えられた3x3行列 $ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{bmatrix} $ の逆行列を求めます。もし逆行列が存在しない場合は、「正則でない」と答えます。
2025/5/17
1. 問題の内容
与えられた3x3行列
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
-2 & -1 & 1 \\
-1 & -2 & 1
\end{bmatrix}
の逆行列を求めます。もし逆行列が存在しない場合は、「正則でない」と答えます。
2. 解き方の手順
逆行列を求めるには、まず行列の行列式を計算します。行列式が0でなければ、逆行列が存在します。次に、余因子行列を求め、転置行列を作成し、最後に元の行列式で割ります。
まず、与えられた行列をAとします。
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
-2 & -1 & 1 \\
-1 & -2 & 1
\end{bmatrix}
Aの行列式を計算します。
\text{det}(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} \\
= 1((-1)(1) - (1)(-2)) - 1((-2)(1) - (1)(-1)) - 1((-2)(-2) - (-1)(-1)) \\
= 1(-1 + 2) - 1(-2 + 1) - 1(4 - 1) \\
= 1(1) - 1(-1) - 1(3) \\
= 1 + 1 - 3 \\
= -1
行列式が-1なので、逆行列が存在します。
次に、余因子行列を求めます。
C_{11} = \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = -1 + 2 = 1 \\
C_{12} = -\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(-2 + 1) = 1 \\
C_{13} = \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3 \\
C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 2) = 1 \\
C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 1 = 0 \\
C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -(-2 + 1) = 1 \\
C_{31} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 1 = 0 \\
C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 2) = 1 \\
C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = -1 + 2 = 1
余因子行列は次のようになります。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 3 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}
次に、余因子行列の転置行列を求めます。
\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
3 & 1 & 1
\end{bmatrix}
最後に、逆行列を求めます。
A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
3 & 1 & 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
-1 & -1 & 0 \\
-1 & 0 & -1 \\
-3 & -1 & -1
\end{bmatrix}
3. 最終的な答え
\begin{bmatrix}
-1 & -1 & 0 \\
-1 & 0 & -1 \\
-3 & -1 & -1
\end{bmatrix}