与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ の逆行列を求める問題です。逆行列が存在しない場合は「正則でない」と答えます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ の逆行列を求める問題です。逆行列が存在しない場合は「正則でない」と答えます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列の行列式を計算します。行列式が0でなければ、逆行列が存在します。

行列式を計算する：

$det(A) = 1 \cdot (-1 \cdot 1 - 1 \cdot (-2)) - 1 \cdot (-2 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + (-1) \cdot (-2 \cdot (-2) - (-1) \cdot (-1))$

$det(A) = 1 \cdot (-1 + 2) - 1 \cdot (-2 + 1) + (-1) \cdot (4 - 1)$

$det(A) = 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3$

$det(A) = 1 + 1 - 3$

$det(A) = -1$

行列式が $-1$ であり、0ではないので、逆行列が存在します。

次に、余因子行列を求めます。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot (-1 \cdot 1 - 1 \cdot (-2)) = 1 \cdot (-1 + 2) = 1$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot (-2 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) = -1 \cdot (-2 + 1) = 1$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \cdot (-2 \cdot (-2) - (-1) \cdot (-1)) = 1 \cdot (4 - 1) = 3$

$C_{21} = (-1)^{2+1} \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot (-2)) = -1 \cdot (1 - 2) = 1$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) = 1 \cdot (1 - 1) = 0$

$C_{23} = (-1)^{2+3} \cdot (1 \cdot (-2) - 1 \cdot (-1)) = -1 \cdot (-2 + 1) = 1$

$C_{31} = (-1)^{3+1} \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) = 1 \cdot (1 - 1) = 0$

$C_{32} = (-1)^{3+2} \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot (-2)) = -1 \cdot (1 - 2) = 1$

$C_{33} = (-1)^{3+3} \cdot (1 \cdot (-1) - 1 \cdot (-2)) = 1 \cdot (-1 + 2) = 1$

余因子行列 $C = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

転置行列 $C^T = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

逆行列 $A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \cdot C^T = \frac{1}{-1} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ -3 & -1 & -1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} -1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ -3 & -1 & -1 \end{bmatrix}$