ある放物線を$x$軸方向に-2、$y$軸方向に-2だけ平行移動し、さらに原点に関して対称移動すると、放物線$y = -x^2 + x - 8$に移った。もとの放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

ある放物線を$x$軸方向に-2、$y$軸方向に-2だけ平行移動し、さらに原点に関して対称移動すると、放物線$y = -x^2 + x - 8$に移った。もとの放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線$y = -x^2 + x - 8$を原点に関して対称移動する。原点に関する対称移動は、$x$を$-x$、$y$を$-y$に置き換えることで行われる。したがって、

$-y = -(-x)^2 + (-x) - 8$

$-y = -x^2 - x - 8$

$y = x^2 + x + 8$

次に、$x$軸方向に-2、$y$軸方向に-2だけ平行移動する前の状態に戻す。これは、$x$を$x - (-2) = x + 2$、$y$を$y - (-2) = y + 2$に置き換えることで行われる。

$y + 2 = (x + 2)^2 + (x + 2) + 8$

$y + 2 = x^2 + 4x + 4 + x + 2 + 8$

$y + 2 = x^2 + 5x + 14$

$y = x^2 + 5x + 12$

3. 最終的な答え

$y = x^2 + 5x + 12$