複素数の計算問題です。 (1) $(1+i)^{12}$ を計算する。 (2) $(-\sqrt{3}+i)^{-4}$ を計算する。

1. 問題の内容

複素数の計算問題です。

(1) $(1+i)^{12}$ を計算する。

(2) $(-\sqrt{3}+i)^{-4}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) $(1+i)^{12}$ の計算

まず、$1+i$ を極形式で表します。

$1+i = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とすると、

$r = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$

$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\theta = \frac{\pi}{4}$

したがって、$1+i = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$

ド・モアブルの定理より、

$(1+i)^{12} = (\sqrt{2})^{12}(\cos\frac{12\pi}{4} + i\sin\frac{12\pi}{4})$

$= 2^6(\cos3\pi + i\sin3\pi) = 64(-1+0i) = -64$

(2) $(-\sqrt{3}+i)^{-4}$ の計算

まず、$-\sqrt{3}+i$ を極形式で表します。

$-\sqrt{3}+i = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とすると、

$r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$

$\cos\theta = \frac{-\sqrt{3}}{2}$, $\sin\theta = \frac{1}{2}$ より、$\theta = \frac{5\pi}{6}$

したがって、$-\sqrt{3}+i = 2(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$

ド・モアブルの定理より、

$(-\sqrt{3}+i)^{-4} = 2^{-4}(\cos(-\frac{20\pi}{6}) + i\sin(-\frac{20\pi}{6}))$

$= \frac{1}{16}(\cos(-\frac{10\pi}{3}) + i\sin(-\frac{10\pi}{3}))$

$-\frac{10\pi}{3} = -\frac{12\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = -4\pi + \frac{2\pi}{3}$

$= \frac{1}{16}(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3})$

$= \frac{1}{16}(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{32} + \frac{\sqrt{3}}{32}i$

3. 最終的な答え

(1) $-64$

(2) $-\frac{1}{32} + \frac{\sqrt{3}}{32}i$