* **問題8**: 複素数平面上の点 $z$ が与えられたとき、以下の点がどのように移動した点であるかを答えます。 * (1) $(1-i)z$ * (2) $(-1+\sqrt{3}i)z$ * **問題9**: 点 $z=6+2i$ を原点を中心として指定された角だけ回転させた点を表す複素数を求めます。 * (1) $\frac{\pi}{4}$

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、問題8と9を解きます。

1. 問題の内容

* **問題8**: 複素数平面上の点 $z$ が与えられたとき、以下の点がどのように移動した点であるかを答えます。

* (1) $(1-i)z$

* (2) $(-1+\sqrt{3}i)z$

* **問題9**: 点 $z=6+2i$ を原点を中心として指定された角だけ回転させた点を表す複素数を求めます。

* (1) $\frac{\pi}{4}$

2. 解き方の手順

* **問題8(1)**: $(1-i)z$ について考えます。

$1-i$ を極形式で表すと、

$1-i = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$となります。

したがって、$(1-i)z$ は $z$ を原点を中心に $-\frac{\pi}{4}$ だけ回転させ、$\sqrt{2}$ 倍した点です。

* **問題8(2)**: $(-1+\sqrt{3}i)z$ について考えます。

$-1+\sqrt{3}i$ を極形式で表すと、

$-1+\sqrt{3}i = 2(\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3}))$となります。

したがって、 $(-1+\sqrt{3}i)z$ は $z$ を原点を中心に $\frac{2\pi}{3}$ だけ回転させ、2倍した点です。

* **問題9(1)**: 点 $z=6+2i$ を原点を中心に $\frac{\pi}{4}$ だけ回転させた点を求めます。

回転後の点を $z'$ とすると、

$z' = z(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) = (6+2i)(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})$

$z' = (6+2i)(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = (3\sqrt{2} - \sqrt{2}) + i(3\sqrt{2}+\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}i$

3. 最終的な答え

* **問題8(1)**: 原点を中心に $-\frac{\pi}{4}$ 回転させ、$\sqrt{2}$ 倍した点

* **問題8(2)**: 原点を中心に $\frac{2\pi}{3}$ 回転させ、2倍した点

* **問題9(1)**: $2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}i$