複素数 $\alpha = 1 + 2\sqrt{2}i$ と $\beta = 4 - 3i$ が与えられたとき、以下の値を計算します。 (1) $|\alpha^4|$ (2) $|\alpha \beta^2|$ (3) $|\frac{1}{\alpha \beta}|$ (4) $|\frac{\beta^2}{\alpha^3}|$

## 回答

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = 1 + 2\sqrt{2}i$ と $\beta = 4 - 3i$ が与えられたとき、以下の値を計算します。

(1) $|\alpha^4|$

(2) $|\alpha \beta^2|$

(3) $|\frac{1}{\alpha \beta}|$

(4) $|\frac{\beta^2}{\alpha^3}|$

2. 解き方の手順

まず、$\alpha$ と $\beta$ の絶対値を求めます。

$|\alpha| = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3$

$|\beta| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

複素数の積と商の絶対値は、それぞれの絶対値の積と商になります。つまり、

$|\alpha \beta| = |\alpha||\beta|$

$|\frac{\alpha}{\beta}| = \frac{|\alpha|}{|\beta|}$

$|\alpha^n| = |\alpha|^n$

(1) $|\alpha^4| = |\alpha|^4 = 3^4 = 81$

(2) $|\alpha \beta^2| = |\alpha||\beta^2| = |\alpha||\beta|^2 = 3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$

(3) $|\frac{1}{\alpha \beta}| = \frac{1}{|\alpha \beta|} = \frac{1}{|\alpha||\beta|} = \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{15}$

(4) $|\frac{\beta^2}{\alpha^3}| = \frac{|\beta^2|}{|\alpha^3|} = \frac{|\beta|^2}{|\alpha|^3} = \frac{5^2}{3^3} = \frac{25}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $|\alpha^4| = 81$

(2) $|\alpha \beta^2| = 75$

(3) $|\frac{1}{\alpha \beta}| = \frac{1}{15}$

(4) $|\frac{\beta^2}{\alpha^3}| = \frac{25}{27}$