問題は、複素数 $(1+i)^{12}$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は、複素数 $(1+i)^{12}$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、$1+i$ を極形式で表します。

$1+i$ の絶対値 $r$ は、

$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

偏角 $\theta$ は、

$\theta = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$

したがって、$1+i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$ となります。

ド・モアブルの定理より、

$(1+i)^{12} = \left(\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)\right)^{12} = (\sqrt{2})^{12}\left(\cos\frac{12\pi}{4} + i\sin\frac{12\pi}{4}\right)$

$= 2^6(\cos 3\pi + i\sin 3\pi) = 64(\cos \pi + i\sin \pi) = 64(-1 + i\cdot 0) = -64$

3. 最終的な答え

$(1+i)^{12} = -64$