複素数 $z = 6 + 2i$ を原点を中心として $\frac{\pi}{4}$ だけ回転させた点を表す複素数を求める問題です。

以下に問題9(1)とその解法を示します。

1. 問題の内容

複素数 $z = 6 + 2i$ を原点を中心として $\frac{\pi}{4}$ だけ回転させた点を表す複素数を求める問題です。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を $\theta$ だけ回転させることは、$z$ に $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ を掛けることに相当します。

この問題では、$\theta = \frac{\pi}{4}$ であるため、回転させる複素数は

$e^{i\frac{\pi}{4}} = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

となります。

したがって、求める複素数は、

$(6+2i) \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$

これを計算します。

$(6+2i) \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 6 \cdot i\frac{\sqrt{2}}{2} + 2i \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2i \cdot i\frac{\sqrt{2}}{2}$

$= 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i + \sqrt{2}i + i^2\sqrt{2}$

$= 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2}i - \sqrt{2}$

$= 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}i$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}i$