複素数 $z = 6 + 2i$ を原点を中心として $\frac{\pi}{2}$ だけ回転させた点を表す複素数を求めよ。

1. 問題の内容

複素数 $z = 6 + 2i$ を原点を中心として $\frac{\pi}{2}$ だけ回転させた点を表す複素数を求めよ。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を $\theta$ だけ回転させる操作は、$z$ に $e^{i\theta}$ を掛けることに対応します。ここで、$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ です。

$\theta = \frac{\pi}{2}$ の場合、$e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = 0 + i(1) = i$ となります。

したがって、求める複素数は $(6+2i)i = 6i + 2i^2 = 6i - 2 = -2 + 6i$ となります。

3. 最終的な答え

$-2 + 6i$