$n$ が自然数のとき、$\sum_{k=0}^{n} k \cdot {}_nC_k = {}_nC_0 + {}_nC_1 + \dots + n \cdot {}_nC_n$ を簡単な式で表す問題です。

1. 問題の内容

$n$ が自然数のとき、$\sum_{k=0}^{n} k \cdot {}_nC_k = {}_nC_0 + {}_nC_1 + \dots + n \cdot {}_nC_n$ を簡単な式で表す問題です。

2. 解き方の手順

二項定理 $(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k x^k$ を利用します。

この両辺を $x$ で微分すると、

$n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n} k \cdot {}_nC_k x^{k-1}$

となります。

この式に $x=1$ を代入すると、

$n(1+1)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n} k \cdot {}_nC_k (1)^{k-1}$

$n \cdot 2^{n-1} = \sum_{k=0}^{n} k \cdot {}_nC_k$

となります。したがって、求める和は $n \cdot 2^{n-1}$ です。

3. 最終的な答え

$n \cdot 2^{n-1}$