$a+b+c=0$ のとき、$a^3+b^3+c^3=3abc$ を証明する問題です。

1. 問題の内容

$a+b+c=0$ のとき、$a^3+b^3+c^3=3abc$ を証明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a+b+c=0$ より、$c = -a-b$と変形できます。

次に、この式を$a^3+b^3+c^3=3abc$ の左辺に代入します。

$a^3+b^3+c^3 = a^3+b^3+(-a-b)^3$

$= a^3 + b^3 - (a+b)^3$

$= a^3 + b^3 - (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)$

$= a^3 + b^3 - a^3 - 3a^2b - 3ab^2 - b^3$

$= -3a^2b - 3ab^2$

$= -3ab(a+b)$

ここで、$a+b+c=0$ より $a+b=-c$ であるから、

$-3ab(a+b) = -3ab(-c)$

$= 3abc$

よって、$a^3+b^3+c^3 = 3abc$ が証明されました。

3. 最終的な答え

$a^3+b^3+c^3=3abc$