与えられた式 $x^2 + 2xy + y^2 + x + y - 6$ を因数分解します。

## 問題29 (2)

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 2xy + y^2 + x + y - 6$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 2xy + y^2$ の部分が $(x+y)^2$ となることに気づきます。

すると、式は $(x+y)^2 + (x+y) - 6$ となります。

ここで、$A = x + y$ と置換すると、式は $A^2 + A - 6$ となります。

この2次式を因数分解すると、$(A+3)(A-2)$ となります。

最後に、$A$ を $x+y$ に戻すと、$(x+y+3)(x+y-2)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x+y+3)(x+y-2)$

## 問題29 (1)

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + (3y+2)x + (y+3)(2y-1)$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた式は $x$ に関する2次式と見なせます。

因数分解できると仮定して、$(x + A)(x + B)$ の形を目指します。

このとき、$A + B = 3y + 2$ かつ $AB = (y+3)(2y-1)$ を満たす $A$ と $B$ を見つける必要があります。

$AB = (y+3)(2y-1)$ より、$A = y+3$ か $B = 2y-1$ とおくことを考えます。

実際に $A = y+3$ と $B = 2y-1$ とすると、 $A + B = (y+3) + (2y-1) = 3y + 2$ となり、条件を満たします。

したがって、与えられた式は $(x + y + 3)(x + 2y - 1)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x+y+3)(x+2y-1)$

## (3)

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 4xy + 3y^2 - 2x + 8y - 3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 4xy + 3y^2$ の部分を因数分解します。これは $(x - y)(x - 3y)$ となります。

与式を書き換えると $(x - y)(x - 3y) - 2x + 8y - 3$となります。

次に、$x$について整理すると、$x^2 + (-4y - 2)x + (3y^2 + 8y - 3)$となります。

$(3y^2+8y-3)$を因数分解すると、$(3y-1)(y+3)$になるので、与式は$x^2 + (-4y - 2)x + (3y-1)(y+3)$と書き換えられます。

全体として因数分解できる形を考えると、$(x + Ay + B)(x + Cy + D)$の形を仮定して、$AC = 3$, $AD + BC = 8$, $BD=-3$, $A+C=-4$, $B+D = -2$となる$A,B,C,D$を見つけることになります。

すると、$(x-y+3)(x-3y-1)$が候補として上がります。

実際に展開して確認すると、$x^2 -3xy -x - xy + 3y^2 +y + 3x -9y -3 = x^2 -4xy +3y^2+2x -8y -3$ となります。これは与式とは符号が違っています。

そのため$(x-y-3)(x-3y+1)=x^2-3xy+x-xy+3y^2-y-3x+9y-3=x^2-4xy+3y^2-2x+8y-3$となり、与式と一致します。

したがって、与えられた式は $(x - y - 3)(x - 3y + 1)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x - y - 3)(x - 3y + 1)$