問題47の(1)は、$x = \sqrt{5} + \sqrt{2}$、 $y = \sqrt{5} - \sqrt{2}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題47の(1)は、$x = \sqrt{5} + \sqrt{2}$、 $y = \sqrt{5} - \sqrt{2}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2$ と $y^2$ をそれぞれ計算します。

$x^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}$

$y^2 = (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2(\sqrt{5})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}$

次に、$x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 + y^2 = (7 + 2\sqrt{10}) + (7 - 2\sqrt{10}) = 7 + 7 + 2\sqrt{10} - 2\sqrt{10} = 14$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 = 14$