$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{2}$ が与えられている。$\sin\theta\cos\theta$ と $\sin\theta - \cos\theta$ の値を求める問題。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{2}$ が与えられている。$\sin\theta\cos\theta$ と $\sin\theta - \cos\theta$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、$\sin\theta\cos\theta$ を求める。

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ なので、

$1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4}$

$2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{8}$

次に、$\sin\theta - \cos\theta$ を求める。

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta$

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2(-\frac{3}{8}) = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

$\sin\theta - \cos\theta = \pm\sqrt{\frac{7}{4}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{2}$

ここで、$\theta$ の範囲が $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ であることを考慮する。

$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{2} > 0$ なので、$\theta$ は第1象限または第2象限の角である可能性がある。

$\sin\theta > 0$ である。

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{8} < 0$ なので、$\cos\theta < 0$。

したがって、$\theta$ は第2象限の角である。

第2象限では $\sin\theta > 0$ かつ $\cos\theta < 0$ なので、$\sin\theta - \cos\theta > 0$ である。

よって、$\sin\theta - \cos\theta = \frac{\sqrt{7}}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{8}$

$\sin\theta - \cos\theta = \frac{\sqrt{7}}{2}$