ベクトル $\vec{a} = (1, -2)$ と平行で、大きさが2であるベクトルを求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, -2)$ と平行で、大きさが2であるベクトルを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\vec{a} = (1, -2)$ の単位ベクトルを求めます。

ベクトルの大きさは、

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

です。

したがって、$\vec{a}$ の単位ベクトル $\vec{e}$ は

$\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{(1, -2)}{\sqrt{5}} = \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}} \right)$

となります。

大きさが2で $\vec{a}$ と平行なベクトルは、単位ベクトル $\vec{e}$ を2倍したもの、または $-2$倍したものとして求められます。

よって、求めるベクトルは

$2\vec{e} = 2 \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}} \right) = \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{4}{\sqrt{5}} \right)$

および

$-2\vec{e} = -2 \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}} \right) = \left( -\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{4}{\sqrt{5}} \right)$

となります。

3. 最終的な答え

求めるベクトルは $\left( \frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{4}{\sqrt{5}} \right)$ および $\left( -\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{4}{\sqrt{5}} \right)$ です。