与えられた式 $x^2 - xy - 6y^2 + 3x + y + 2$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - xy - 6y^2 + 3x + y + 2$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、与式を $x$ について整理する。

$x^2 + (-y + 3)x + (-6y^2 + y + 2)$

次に、定数項 $-6y^2 + y + 2$ を因数分解する。

$-6y^2 + y + 2 = -(6y^2 - y - 2) = -(2y+1)(3y-2)$

したがって、与式は

$x^2 + (-y+3)x - (2y+1)(3y-2)$

と表せる。

ここで、因数分解後の形を $(x + Ay + B)(x + Cy + D)$ と仮定する。

このとき、$AC = -6$、$A+C = -1$、$BD = 2$、$AD+BC = 1$などの関係が成り立つ。

この形に当てはまるように定数 $A, B, C, D$ を探す。

$x^2 + (-y+3)x - (2y+1)(3y-2) = (x + 2y + 1)(x - 3y + 2)$

実際に展開して確認する。

$(x + 2y + 1)(x - 3y + 2) = x^2 - 3xy + 2x + 2xy - 6y^2 + 4y + x - 3y + 2 = x^2 - xy - 6y^2 + 3x + y + 2$

3. 最終的な答え

$(x + 2y + 1)(x - 3y + 2)$