与えられた等式が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。 (1) $x^3 - ax - 1 = (x+1)(x^2 + bx + c) + 1$ (2) $x^3 = (x-1)^3 + a(x-1)^2 + b(x-1) + c$

1. 問題の内容

与えられた等式が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

(1) $x^3 - ax - 1 = (x+1)(x^2 + bx + c) + 1$

(2) $x^3 = (x-1)^3 + a(x-1)^2 + b(x-1) + c$

2. 解き方の手順

(1)

まず、右辺を展開します。

$(x+1)(x^2 + bx + c) + 1 = x^3 + bx^2 + cx + x^2 + bx + c + 1 = x^3 + (b+1)x^2 + (c+b)x + c + 1$

したがって、$x^3 - ax - 1 = x^3 + (b+1)x^2 + (c+b)x + c + 1$ となります。

この等式が恒等式であるためには、各次数の係数が等しくなければなりません。

$x^2$ の係数: $0 = b+1$ より $b = -1$

$x$ の係数: $-a = c+b$

定数項: $-1 = c+1$ より $c = -2$

$b = -1$ と $c = -2$ を $-a = c+b$ に代入すると、$-a = -2 - 1 = -3$ より $a = 3$

(2)

右辺を展開します。

$(x-1)^3 + a(x-1)^2 + b(x-1) + c = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + a(x^2 - 2x + 1) + b(x-1) + c$

$= x^3 - 3x^2 + 3x - 1 + ax^2 - 2ax + a + bx - b + c$

$= x^3 + (a-3)x^2 + (3-2a+b)x + (-1+a-b+c)$

したがって、$x^3 = x^3 + (a-3)x^2 + (3-2a+b)x + (-1+a-b+c)$ となります。

この等式が恒等式であるためには、各次数の係数が等しくなければなりません。

$x^2$ の係数: $0 = a-3$ より $a = 3$

$x$ の係数: $0 = 3-2a+b$ に $a=3$ を代入すると $0 = 3 - 2(3) + b = 3 - 6 + b = -3 + b$ より $b = 3$

定数項: $0 = -1+a-b+c$ に $a=3$, $b=3$ を代入すると $0 = -1 + 3 - 3 + c = -1 + c$ より $c = 1$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$, $b = -1$, $c = -2$

(2) $a = 3$, $b = 3$, $c = 1$