$\frac{1}{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}$ の分母を有理化する問題です。

1. 問題の内容

$\frac{1}{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}$ の分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母を $a + b$ の形にするために、$2+\sqrt{3}$ を一つの項と見なします。

$\frac{1}{(2+\sqrt{3})+\sqrt{7}}$

次に、分母を有理化するために、$(2+\sqrt{3})-\sqrt{7}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{(2+\sqrt{3})+\sqrt{7}} \times \frac{(2+\sqrt{3})-\sqrt{7}}{(2+\sqrt{3})-\sqrt{7}} = \frac{(2+\sqrt{3})-\sqrt{7}}{(2+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2}$

分母を展開します。

$(2+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2 = (4 + 4\sqrt{3} + 3) - 7 = 7 + 4\sqrt{3} - 7 = 4\sqrt{3}$

したがって、

$\frac{(2+\sqrt{3})-\sqrt{7}}{4\sqrt{3}}$

さらに分母を有理化するために、$\sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{(2+\sqrt{3})-\sqrt{7}}{4\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{(2+\sqrt{3})\sqrt{3} - \sqrt{7}\sqrt{3}}{4 \times 3} = \frac{2\sqrt{3} + 3 - \sqrt{21}}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{3} + 3 - \sqrt{21}}{12}$