$a > 0$、$b > 0$ のとき、次の不等式を証明する問題です。 $$(a+b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \ge 4$$

1. 問題の内容

$a > 0$、$b > 0$ のとき、次の不等式を証明する問題です。

$$(a+b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \ge 4$$

2. 解き方の手順

左辺を展開し、相加相乗平均の不等式を利用して証明します。

ステップ1: 左辺を展開します。

$$(a+b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = a\cdot\frac{1}{a} + a\cdot\frac{1}{b} + b\cdot\frac{1}{a} + b\cdot\frac{1}{b} = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$$

ステップ2: 相加相乗平均の不等式を利用します。$a > 0$、$b > 0$ より、$\frac{a}{b} > 0$、$\frac{b}{a} > 0$ です。したがって、

$$\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{a}}{2} \ge \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = \sqrt{1} = 1$$

よって、

$$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$$

ステップ3: 不等式を評価します。

$$2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 + 2 = 4$$

したがって、

$$(a+b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \ge 4$$

が証明できました。

3. 最終的な答え

$(a+b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \ge 4$