$x = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めます。 (1) $x + \frac{1}{x}$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めます。

(1) $x + \frac{1}{x}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

2. 解き方の手順

(1) $x + \frac{1}{x}$ を求める。

まず、$\frac{1}{x}$ を計算します。

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$$

分母を有理化するために、分母の共役 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

$$\frac{1}{x} = \frac{2(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{2(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{2(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$$

したがって、

$$x + \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求める。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ であることを利用します。

したがって、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$

(1)より $x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ なので、

$$x^2 + \frac{1}{x^2} = (\sqrt{6})^2 - 2 = 6 - 2 = 4$$

(3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ を求める。

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x^2(\frac{1}{x}) + 3x(\frac{1}{x^2}) + \frac{1}{x^3} = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$

したがって、

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$

(1)より $x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ なので、

$$x^3 + \frac{1}{x^3} = (\sqrt{6})^3 - 3(\sqrt{6}) = 6\sqrt{6} - 3\sqrt{6} = 3\sqrt{6}$$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{6}$

(2) 4

(3) $3\sqrt{6}$