$x = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めます。 (1) $x + \frac{1}{x}$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

代数学式の計算有理化代数式の展開根号
2025/5/17

1. 問題の内容

x=6+22x = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} のとき、以下の式の値を求めます。
(1) x+1xx + \frac{1}{x}
(2) x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2}
(3) x3+1x3x^3 + \frac{1}{x^3}

2. 解き方の手順

(1) x+1xx + \frac{1}{x} を求める。
まず、1x\frac{1}{x} を計算します。
1x=16+22=26+2 \frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}
分母を有理化するために、分母の共役 62\sqrt{6} - \sqrt{2} を分子と分母に掛けます。
1x=2(62)(6+2)(62)=2(62)62=2(62)4=622 \frac{1}{x} = \frac{2(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{2(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{2(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}
したがって、
x+1x=6+22+622=6+2+622=262=6 x + \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}
(2) x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} を求める。
(x+1x)2=x2+2+1x2(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} であることを利用します。
したがって、
x2+1x2=(x+1x)22x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2
(1)より x+1x=6x + \frac{1}{x} = \sqrt{6} なので、
x2+1x2=(6)22=62=4 x^2 + \frac{1}{x^2} = (\sqrt{6})^2 - 2 = 6 - 2 = 4
(3) x3+1x3x^3 + \frac{1}{x^3} を求める。
(x+1x)3=x3+3x2(1x)+3x(1x2)+1x3=x3+3x+3x+1x3=x3+1x3+3(x+1x)(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x^2(\frac{1}{x}) + 3x(\frac{1}{x^2}) + \frac{1}{x^3} = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})
したがって、
x3+1x3=(x+1x)33(x+1x)x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})
(1)より x+1x=6x + \frac{1}{x} = \sqrt{6} なので、
x3+1x3=(6)33(6)=6636=36 x^3 + \frac{1}{x^3} = (\sqrt{6})^3 - 3(\sqrt{6}) = 6\sqrt{6} - 3\sqrt{6} = 3\sqrt{6}

3. 最終的な答え

(1) 6\sqrt{6}
(2) 4
(3) 363\sqrt{6}

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