ベクトル $\vec{a} = (1, -2)$、$\vec{b} = (3, 1)$ が与えられたとき、次の式を満たすベクトル $\vec{x}$ の成分表示を求めます。 (1) $2\vec{b} = \vec{a} - 3\vec{x}$ (2) $2(\vec{a} - \vec{x}) = 3(\vec{x} - \vec{b})$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, -2)$、$\vec{b} = (3, 1)$ が与えられたとき、次の式を満たすベクトル $\vec{x}$ の成分表示を求めます。

(1) $2\vec{b} = \vec{a} - 3\vec{x}$

(2) $2(\vec{a} - \vec{x}) = 3(\vec{x} - \vec{b})$

2. 解き方の手順

(1) $2\vec{b} = \vec{a} - 3\vec{x}$ について解きます。

まず、$3\vec{x}$ について解くと、

$3\vec{x} = \vec{a} - 2\vec{b}$

$\vec{x}$ について解くと、

$\vec{x} = \frac{1}{3}(\vec{a} - 2\vec{b})$

与えられた $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の値を代入します。

$\vec{x} = \frac{1}{3}((1, -2) - 2(3, 1))$

$\vec{x} = \frac{1}{3}((1, -2) - (6, 2))$

$\vec{x} = \frac{1}{3}(1 - 6, -2 - 2)$

$\vec{x} = \frac{1}{3}(-5, -4)$

$\vec{x} = (-\frac{5}{3}, -\frac{4}{3})$

(2) $2(\vec{a} - \vec{x}) = 3(\vec{x} - \vec{b})$ について解きます。

展開すると、

$2\vec{a} - 2\vec{x} = 3\vec{x} - 3\vec{b}$

$\vec{x}$ について整理すると、

$5\vec{x} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$

$\vec{x} = \frac{1}{5}(2\vec{a} + 3\vec{b})$

与えられた $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の値を代入します。

$\vec{x} = \frac{1}{5}(2(1, -2) + 3(3, 1))$

$\vec{x} = \frac{1}{5}((2, -4) + (9, 3))$

$\vec{x} = \frac{1}{5}(2+9, -4+3)$

$\vec{x} = \frac{1}{5}(11, -1)$

$\vec{x} = (\frac{11}{5}, -\frac{1}{5})$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{x} = (-\frac{5}{3}, -\frac{4}{3})$

(2) $\vec{x} = (\frac{11}{5}, -\frac{1}{5})$