$(1+x)^n$ の二項定理の展開式を利用して、次の等式を導きます。 ${}_nC_0 - 3{}_nC_1 + 9{}_nC_2 + \dots + (-3)^n {}_nC_n = (-2)^n$

1. 問題の内容

$(1+x)^n$ の二項定理の展開式を利用して、次の等式を導きます。

${}_nC_0 - 3{}_nC_1 + 9{}_nC_2 + \dots + (-3)^n {}_nC_n = (-2)^n$

2. 解き方の手順

二項定理の式は次のようになります。

$(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k x^k = {}_nC_0 + {}_nC_1 x + {}_nC_2 x^2 + \dots + {}_nC_n x^n$

ここで、$x = -3$ を代入すると、次のようになります。

$(1+(-3))^n = {}_nC_0 + {}_nC_1 (-3) + {}_nC_2 (-3)^2 + \dots + {}_nC_n (-3)^n$

整理すると、

$(-2)^n = {}_nC_0 - 3{}_nC_1 + 9{}_nC_2 + \dots + (-3)^n {}_nC_n$

したがって、与えられた等式が導き出されました。

3. 最終的な答え

${}_nC_0 - 3{}_nC_1 + 9{}_nC_2 + \dots + (-3)^n {}_nC_n = (-2)^n$