問題は、$\frac{4}{\sqrt{3}-1}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、以下の2つの問いに答えるものです。 (1) $a$ と $b$ の値を求めよ。 (2) $a^2 - ab + b^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は、$\frac{4}{\sqrt{3}-1}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、以下の2つの問いに答えるものです。

(1) $a$ と $b$ の値を求めよ。

(2) $a^2 - ab + b^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\frac{4}{\sqrt{3}-1}$ を有理化します。

$$\frac{4}{\sqrt{3}-1} = \frac{4(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{4(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{4(\sqrt{3}+1)}{2} = 2(\sqrt{3}+1) = 2\sqrt{3}+2$$

ここで、$2\sqrt{3}$ の近似値を考えます。$\sqrt{3}$ は $1.732...$ なので、$2\sqrt{3} \approx 2 \times 1.732 = 3.464$ です。

したがって、$2\sqrt{3}+2 \approx 3.464 + 2 = 5.464$ となります。

整数部分 $a$ は5であると予想できます。

厳密に不等式で評価すると、$\sqrt{3}$ は $1 < \sqrt{3} < 2$ なので、$2 < 2\sqrt{3} < 4$ です。

より正確には、$1.7 < \sqrt{3} < 1.8$ なので、$3.4 < 2\sqrt{3} < 3.6$ です。

$3 < \sqrt{12} < 4$ より、$3 < 2\sqrt{3} < 4$ なので、 $2\sqrt{3}$ の整数部分は3です。

よって、$2\sqrt{3}+2$ の整数部分は $3+2=5$ なので、$a=5$ です。

小数部分 $b$ は、$b = (2\sqrt{3}+2) - a = (2\sqrt{3}+2) - 5 = 2\sqrt{3}-3$ です。

(2) $a^2 - ab + b^2$ を計算します。$a=5$、$b=2\sqrt{3}-3$ なので、

\begin{align*} a^2 - ab + b^2 &= 5^2 - 5(2\sqrt{3}-3) + (2\sqrt{3}-3)^2 \\ &= 25 - 10\sqrt{3} + 15 + (4\times3 - 12\sqrt{3} + 9) \\ &= 40 - 10\sqrt{3} + 12 - 12\sqrt{3} + 9 \\ &= 61 - 22\sqrt{3}\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) $a = 5$, $b = 2\sqrt{3} - 3$

(2) $a^2 - ab + b^2 = 61 - 22\sqrt{3}$