3次方程式 $x^3 - 3x^2 + 2x + 4 = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、以下の式の値を求めます。 (1) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ (2) $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$ (3) $(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)$ (4) $(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)$

はい、承知しました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x^2 + 2x + 4 = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、以下の式の値を求めます。

(1) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$

(2) $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$

(3) $(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)$

(4) $(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、以下の式が得られます。

$\alpha + \beta + \gamma = 3$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 2$

$\alpha\beta\gamma = -4$

(1) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ を求めます。

$(\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$ より、

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 3^2 - 2(2) = 9 - 4 = 5$

(2) $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$ を求めます。

$\alpha, \beta, \gamma$ は $x^3 - 3x^2 + 2x + 4 = 0$ の解なので、

$\alpha^3 - 3\alpha^2 + 2\alpha + 4 = 0$

$\beta^3 - 3\beta^2 + 2\beta + 4 = 0$

$\gamma^3 - 3\gamma^2 + 2\gamma + 4 = 0$

これらの式を足し合わせると、

$(\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3) - 3(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) + 2(\alpha + \beta + \gamma) + 12 = 0$

$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 3(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) - 2(\alpha + \beta + \gamma) - 12$

$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 3(5) - 2(3) - 12 = 15 - 6 - 12 = -3$

(3) $(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)$ を求めます。

$(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma) = 1 - (\alpha+\beta+\gamma) + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) - \alpha\beta\gamma$

$(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma) = 1 - 3 + 2 - (-4) = 1 - 3 + 2 + 4 = 4$

(4) $(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)$ を求めます。

$\alpha+\beta = 3 - \gamma$

$\beta+\gamma = 3 - \alpha$

$\gamma+\alpha = 3 - \beta$

$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = (3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma)$

これは、$x^3 - 3x^2 + 2x + 4 = 0$ の解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、 $x = 3$ を代入したときの値に等しいです。ただし、符号が異なります。$x^3 - 3x^2 + 2x + 4 = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$であるため、$(3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma) = -(3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma) = - (3^3 - 3\cdot3^2 + 2\cdot3 + 4) = -(27-27+6+4) = -10$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 5$

(2) $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = -3$

(3) $(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma) = 4$

(4) $(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = -10$