3次方程式 $x^3 - 3x^2 + 2x + 4 = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、以下の式の値を求めます。 (1) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ (2) $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$ (3) $(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)$ (4) $(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)$

代数学三次方程式解と係数の関係式の値
2025/5/17
はい、承知しました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

3次方程式 x33x2+2x+4=0x^3 - 3x^2 + 2x + 4 = 0 の3つの解を α,β,γ\alpha, \beta, \gamma とするとき、以下の式の値を求めます。
(1) α2+β2+γ2\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2
(2) α3+β3+γ3\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3
(3) (1α)(1β)(1γ)(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)
(4) (α+β)(β+γ)(γ+α)(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、以下の式が得られます。
α+β+γ=3\alpha + \beta + \gamma = 3
αβ+βγ+γα=2\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 2
αβγ=4\alpha\beta\gamma = -4
(1) α2+β2+γ2\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 を求めます。
(α+β+γ)2=α2+β2+γ2+2(αβ+βγ+γα)(\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) より、
α2+β2+γ2=(α+β+γ)22(αβ+βγ+γα)\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)
α2+β2+γ2=322(2)=94=5\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 3^2 - 2(2) = 9 - 4 = 5
(2) α3+β3+γ3\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 を求めます。
α,β,γ\alpha, \beta, \gammax33x2+2x+4=0x^3 - 3x^2 + 2x + 4 = 0 の解なので、
α33α2+2α+4=0\alpha^3 - 3\alpha^2 + 2\alpha + 4 = 0
β33β2+2β+4=0\beta^3 - 3\beta^2 + 2\beta + 4 = 0
γ33γ2+2γ+4=0\gamma^3 - 3\gamma^2 + 2\gamma + 4 = 0
これらの式を足し合わせると、
(α3+β3+γ3)3(α2+β2+γ2)+2(α+β+γ)+12=0(\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3) - 3(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) + 2(\alpha + \beta + \gamma) + 12 = 0
α3+β3+γ3=3(α2+β2+γ2)2(α+β+γ)12\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 3(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) - 2(\alpha + \beta + \gamma) - 12
α3+β3+γ3=3(5)2(3)12=15612=3\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 3(5) - 2(3) - 12 = 15 - 6 - 12 = -3
(3) (1α)(1β)(1γ)(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma) を求めます。
(1α)(1β)(1γ)=1(α+β+γ)+(αβ+βγ+γα)αβγ(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma) = 1 - (\alpha+\beta+\gamma) + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) - \alpha\beta\gamma
(1α)(1β)(1γ)=13+2(4)=13+2+4=4(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma) = 1 - 3 + 2 - (-4) = 1 - 3 + 2 + 4 = 4
(4) (α+β)(β+γ)(γ+α)(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) を求めます。
α+β=3γ\alpha+\beta = 3 - \gamma
β+γ=3α\beta+\gamma = 3 - \alpha
γ+α=3β\gamma+\alpha = 3 - \beta
(α+β)(β+γ)(γ+α)=(3α)(3β)(3γ)(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = (3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma)
これは、x33x2+2x+4=0x^3 - 3x^2 + 2x + 4 = 0 の解を α,β,γ\alpha, \beta, \gamma とするとき、 x=3x = 3 を代入したときの値に等しいです。ただし、符号が異なります。x33x2+2x+4=(xα)(xβ)(xγ)x^3 - 3x^2 + 2x + 4 = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)であるため、(3α)(3β)(3γ)=(3α)(3β)(3γ)=(33332+23+4)=(2727+6+4)=10(3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma) = -(3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma) = - (3^3 - 3\cdot3^2 + 2\cdot3 + 4) = -(27-27+6+4) = -10

3. 最終的な答え

(1) α2+β2+γ2=5\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 5
(2) α3+β3+γ3=3\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = -3
(3) (1α)(1β)(1γ)=4(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma) = 4
(4) (α+β)(β+γ)(γ+α)=10(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = -10

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