与えられた2つの2次関数について、それぞれの最大値または最小値を求める問題です。 (1) $y = 2x^2 - 8x + 7$ (2) $y = -3x^2 - 4x + 5$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数について、それぞれの最大値または最小値を求める問題です。

(1) $y = 2x^2 - 8x + 7$

(2) $y = -3x^2 - 4x + 5$

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x^2 - 8x + 7$ の場合

平方完成を行います。

$y = 2(x^2 - 4x) + 7$

$y = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 7$

$y = 2((x - 2)^2 - 4) + 7$

$y = 2(x - 2)^2 - 8 + 7$

$y = 2(x - 2)^2 - 1$

この関数は下に凸の放物線なので、最小値を持ちます。

$x = 2$ のとき、最小値は $-1$ です。

最大値は存在しません。

(2) $y = -3x^2 - 4x + 5$ の場合

平方完成を行います。

$y = -3(x^2 + \frac{4}{3}x) + 5$

$y = -3(x^2 + \frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 - (\frac{2}{3})^2) + 5$

$y = -3((x + \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}) + 5$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} + 5$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} + \frac{15}{3}$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{19}{3}$

この関数は上に凸の放物線なので、最大値を持ちます。

$x = -\frac{2}{3}$ のとき、最大値は $\frac{19}{3}$ です。

最小値は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 最小値 $-1$ (x=2のとき), 最大値は存在しない

(2) 最大値 $\frac{19}{3}$ (x=-2/3のとき), 最小値は存在しない