実数全体を全体集合とし、集合A, B, Cが与えられています。 $A = \{x | -1 \le x < 5\}$ $B = \{x | -3 < x \le 4\}$ $C = \{x | k-6 < x < k+1\}$ (kは定数) (1) $A \cap B$と$A \cup B$を求めよ。 (2) $A \subset C$ となるkの値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

実数全体を全体集合とし、集合A, B, Cが与えられています。

$A = \{x | -1 \le x < 5\}$

$B = \{x | -3 < x \le 4\}$

$C = \{x | k-6 < x < k+1\}$ (kは定数)

(1) $A \cap B$と$A \cup B$を求めよ。

(2) $A \subset C$ となるkの値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

(ア) $A \cap B$ (AとBの共通部分)を求める。

Aの範囲は-1以上5未満、Bの範囲は-3より大きく4以下なので、共通部分は-1以上4以下となる。

したがって、$A \cap B = \{x | -1 \le x \le 4\}$

(イ) $A \cup B$ (AとBの和集合)を求める。

Aの範囲は-1以上5未満、Bの範囲は-3より大きく4以下なので、和集合は-3より大きく5未満となる。

したがって、$A \cup B = \{x | -3 < x < 5\}$

(2)

$A \subset C$となるkの範囲を求める。

$A = \{x | -1 \le x < 5\}$ が $C = \{x | k-6 < x < k+1\}$ に含まれるためには、

$k-6 < -1$ かつ $k+1 \ge 5$が成り立つ必要がある。

$k-6 < -1$より $k < 5$

$k+1 \ge 5$より $k \ge 4$

したがって、$4 \le k < 5$

3. 最終的な答え

(1) (ア) $A \cap B = \{x | -1 \le x \le 4\}$

(イ) $A \cup B = \{x | -3 < x < 5\}$

(2) $4 \le k < 5$