実数全体を全体集合とし、集合A, B, Cが与えられています。 $A = \{x | -1 \le x < 5\}$ $B = \{x | -3 < x \le 4\}$ $C = \{x | k-6 < x < k+1\}$ (kは定数) (1) $A \cap B$と$A \cup B$を求めよ。 (2) $A \subset C$ となるkの値の範囲を求めよ。

代数学集合不等式共通部分和集合包含関係
2025/5/17

1. 問題の内容

実数全体を全体集合とし、集合A, B, Cが与えられています。
A={x1x<5}A = \{x | -1 \le x < 5\}
B={x3<x4}B = \{x | -3 < x \le 4\}
C={xk6<x<k+1}C = \{x | k-6 < x < k+1\} (kは定数)
(1) ABA \cap BABA \cup Bを求めよ。
(2) ACA \subset C となるkの値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)
(ア) ABA \cap B (AとBの共通部分)を求める。
Aの範囲は-1以上5未満、Bの範囲は-3より大きく4以下なので、共通部分は-1以上4以下となる。
したがって、AB={x1x4}A \cap B = \{x | -1 \le x \le 4\}
(イ) ABA \cup B (AとBの和集合)を求める。
Aの範囲は-1以上5未満、Bの範囲は-3より大きく4以下なので、和集合は-3より大きく5未満となる。
したがって、AB={x3<x<5}A \cup B = \{x | -3 < x < 5\}
(2)
ACA \subset Cとなるkの範囲を求める。
A={x1x<5}A = \{x | -1 \le x < 5\}C={xk6<x<k+1}C = \{x | k-6 < x < k+1\} に含まれるためには、
k6<1k-6 < -1 かつ k+15k+1 \ge 5が成り立つ必要がある。
k6<1k-6 < -1より k<5k < 5
k+15k+1 \ge 5より k4k \ge 4
したがって、4k<54 \le k < 5

3. 最終的な答え

(1) (ア) AB={x1x4}A \cap B = \{x | -1 \le x \le 4\}
(イ) AB={x3<x<5}A \cup B = \{x | -3 < x < 5\}
(2) 4k<54 \le k < 5

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