次の4つの数列の一般項 $a_n$ を求めます。 (1) $a_1 = -1$, $a_{n+1} = a_n + 4$ (2) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n$ (3) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + n(n+1)$ (4) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = -2a_n + 6$

1. 問題の内容

次の4つの数列の一般項 $a_n$ を求めます。

(1) $a_1 = -1$, $a_{n+1} = a_n + 4$

(2) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n$

(3) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + n(n+1)$

(4) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = -2a_n + 6$

2. 解き方の手順

(1) $a_1 = -1$, $a_{n+1} = a_n + 4$

これは等差数列であり、初項は-1、公差は4です。

一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で求められます。

$a_n = -1 + (n-1)4 = -1 + 4n - 4 = 4n - 5$

(2) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n$

これは等比数列であり、初項は2、公比は3です。

一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で求められます。

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

(3) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + n(n+1)$

階差数列の形をしています。$b_n = n(n+1)$ とすると、

$a_{n+1} - a_n = b_n = n(n+1) = n^2 + n$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 + k)$

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 + \sum_{k=1}^{n-1} k$

$a_n = 1 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)n}{2}$

$a_n = 1 + \frac{(n-1)n(2n-1) + 3(n-1)n}{6} = 1 + \frac{(n-1)n(2n-1+3)}{6} = 1 + \frac{(n-1)n(2n+2)}{6} = 1 + \frac{2n(n-1)(n+1)}{6} = 1 + \frac{n(n-1)(n+1)}{3} = 1 + \frac{n(n^2-1)}{3} = 1 + \frac{n^3 - n}{3} = \frac{n^3 - n + 3}{3}$

(4) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = -2a_n + 6$

$a_{n+1} - \alpha = -2(a_n - \alpha)$ となるような $\alpha$ を見つける。

$a_{n+1} = -2a_n + 6$

$\alpha = -2\alpha + 6$

$3\alpha = 6$

$\alpha = 2$

$a_{n+1} - 2 = -2(a_n - 2)$

$b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_1 = a_1 - 2 = 0 - 2 = -2$, $b_{n+1} = -2b_n$

これは等比数列で、初項は-2、公比は-2。

$b_n = -2(-2)^{n-1} = -2^1 (-2)^{n-1} = (-1)^n 2^n$

$a_n = b_n + 2 = 2 + (-1)^n 2^n = 2 + (-2)^n$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 4n - 5$

(2) $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

(3) $a_n = \frac{n^3 - n + 3}{3}$

(4) $a_n = 2 + (-2)^n$