次の4つの数列の一般項 $a_n$ を求めます。 (1) $a_1 = -1$, $a_{n+1} = a_n + 4$ (2) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n$ (3) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + n(n+1)$ (4) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = -2a_n + 6$

代数学数列等差数列等比数列階差数列漸化式
2025/5/17

1. 問題の内容

次の4つの数列の一般項 ana_n を求めます。
(1) a1=1a_1 = -1, an+1=an+4a_{n+1} = a_n + 4
(2) a1=2a_1 = 2, an+1=3ana_{n+1} = 3a_n
(3) a1=1a_1 = 1, an+1=an+n(n+1)a_{n+1} = a_n + n(n+1)
(4) a1=0a_1 = 0, an+1=2an+6a_{n+1} = -2a_n + 6

2. 解き方の手順

(1) a1=1a_1 = -1, an+1=an+4a_{n+1} = a_n + 4
これは等差数列であり、初項は-1、公差は4です。
一般項は an=a1+(n1)da_n = a_1 + (n-1)d で求められます。
an=1+(n1)4=1+4n4=4n5a_n = -1 + (n-1)4 = -1 + 4n - 4 = 4n - 5
(2) a1=2a_1 = 2, an+1=3ana_{n+1} = 3a_n
これは等比数列であり、初項は2、公比は3です。
一般項は an=a1rn1a_n = a_1 r^{n-1} で求められます。
an=23n1a_n = 2 \cdot 3^{n-1}
(3) a1=1a_1 = 1, an+1=an+n(n+1)a_{n+1} = a_n + n(n+1)
階差数列の形をしています。bn=n(n+1)b_n = n(n+1) とすると、
an+1an=bn=n(n+1)=n2+na_{n+1} - a_n = b_n = n(n+1) = n^2 + n
an=a1+k=1n1bk=a1+k=1n1(k2+k)a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 + k)
an=1+k=1n1k2+k=1n1ka_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 + \sum_{k=1}^{n-1} k
an=1+(n1)n(2n1)6+(n1)n2a_n = 1 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)n}{2}
an=1+(n1)n(2n1)+3(n1)n6=1+(n1)n(2n1+3)6=1+(n1)n(2n+2)6=1+2n(n1)(n+1)6=1+n(n1)(n+1)3=1+n(n21)3=1+n3n3=n3n+33a_n = 1 + \frac{(n-1)n(2n-1) + 3(n-1)n}{6} = 1 + \frac{(n-1)n(2n-1+3)}{6} = 1 + \frac{(n-1)n(2n+2)}{6} = 1 + \frac{2n(n-1)(n+1)}{6} = 1 + \frac{n(n-1)(n+1)}{3} = 1 + \frac{n(n^2-1)}{3} = 1 + \frac{n^3 - n}{3} = \frac{n^3 - n + 3}{3}
(4) a1=0a_1 = 0, an+1=2an+6a_{n+1} = -2a_n + 6
an+1α=2(anα)a_{n+1} - \alpha = -2(a_n - \alpha) となるような α\alpha を見つける。
an+1=2an+6a_{n+1} = -2a_n + 6
α=2α+6\alpha = -2\alpha + 6
3α=63\alpha = 6
α=2\alpha = 2
an+12=2(an2)a_{n+1} - 2 = -2(a_n - 2)
bn=an2b_n = a_n - 2 とおくと、b1=a12=02=2b_1 = a_1 - 2 = 0 - 2 = -2, bn+1=2bnb_{n+1} = -2b_n
これは等比数列で、初項は-2、公比は-2。
bn=2(2)n1=21(2)n1=(1)n2nb_n = -2(-2)^{n-1} = -2^1 (-2)^{n-1} = (-1)^n 2^n
an=bn+2=2+(1)n2n=2+(2)na_n = b_n + 2 = 2 + (-1)^n 2^n = 2 + (-2)^n

3. 最終的な答え

(1) an=4n5a_n = 4n - 5
(2) an=23n1a_n = 2 \cdot 3^{n-1}
(3) an=n3n+33a_n = \frac{n^3 - n + 3}{3}
(4) an=2+(2)na_n = 2 + (-2)^n

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