(1) 多項式 $P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x - 7$ と $Q(x) = x^2 + 2x - 3$ が与えられたとき、$P(x)^3$ を $Q(x)$ で割ったときの商と余りを求める。 (2) 多項式 $x^{2023} - 1$ を $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

(1) 多項式 $P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x - 7$ と $Q(x) = x^2 + 2x - 3$ が与えられたとき、$P(x)^3$ を $Q(x)$ で割ったときの商と余りを求める。

(2) 多項式 $x^{2023} - 1$ を $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$P(x)^3$ を計算する。

$P(x)^3 = (2x^3 + 5x^2 - 3x - 7)^3$

この多項式を展開するのは大変なので、$P(x)$ を $Q(x)$ で割ったときの商と余りを求める。

$2x^3 + 5x^2 - 3x - 7 = (x^2 + 2x - 3)(2x + 1) - 1$

したがって、$P(x) = (2x + 1)Q(x) - 1$ となる。

$P(x)^3 = ((2x + 1)Q(x) - 1)^3 = (2x + 1)^3 Q(x)^3 - 3(2x + 1)^2 Q(x)^2 + 3(2x + 1)Q(x) - 1$

$P(x)^3 = Q(x) [(2x + 1)^3 Q(x)^2 - 3(2x + 1)^2 Q(x) + 3(2x + 1)] - 1$

よって、 $P(x)^3$ を $Q(x)$ で割ったときの商は $(2x + 1)^3 Q(x)^2 - 3(2x + 1)^2 Q(x) + 3(2x + 1)$ であり、余りは $-1$ である。

$(2x+1)^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$

$(2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$

$(8x^3 + 12x^2 + 6x + 1)(x^2+2x-3)^2 - 3(4x^2 + 4x + 1)(x^2+2x-3) + 3(2x+1)$

$P(x)^3$ を $Q(x)$ で割った余りは $-1$ である。

(2) $x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$ であるから、$x^5 \equiv 1 \pmod{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1}$

$x^{2023} = x^{5 \cdot 404 + 3} = (x^5)^{404} x^3 \equiv x^3 \pmod{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1}$

$x^{2023} - 1 \equiv x^3 - 1 \pmod{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1}$

したがって、余りは $x^3 - 1$ である。

3. 最終的な答え

(1) 商: $(2x + 1)^3 (x^2 + 2x - 3)^2 - 3(2x + 1)^2 (x^2 + 2x - 3) + 3(2x + 1)$、余り: $-1$

(2) 余り: $x^3 - 1$