数列 $\{a_n\}$ が、初項 $a_1 = 3$ と漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 2$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) によって定義されている。この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、初項 $a_1 = 3$ と漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 2$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) によって定義されている。この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を特性方程式を用いて変形することを考えます。特性方程式を $x = 3x - 2$ とおきます。

$x = 3x - 2$

$2x = 2$

$x = 1$

よって、漸化式は次のように変形できます。

$a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$

ここで、$b_n = a_n - 1$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となります。

これは、数列 $\{b_n\}$ が公比3の等比数列であることを示しています。

初項は $b_1 = a_1 - 1 = 3 - 1 = 2$ です。

したがって、数列 $\{b_n\}$ の一般項は、

$b_n = b_1 \cdot 3^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1}$

となります。

$a_n = b_n + 1$ であるから、数列 $\{a_n\}$ の一般項は、

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} + 1$

となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} + 1$