与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列を、はき出し法（掃き出し法）を用いて求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列を、はき出し法（掃き出し法）を用いて求めます。

2. 解き方の手順

はき出し法では、与えられた行列に単位行列を並べた拡大行列を作り、基本変形を繰り返して左側が単位行列になるように変形します。右側に現れた行列が、元の行列の逆行列となります。

まず、拡大行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(1) 2行目に1行目を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(2) 3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -5 & 3 & | & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) 1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 & | & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -5 & 3 & | & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(4) 3行目に2行目の5倍を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 & | & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & | & 3 & 5 & 1 \end{pmatrix}$

(5) 3行目を8で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 & | & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{3}{8} & \frac{5}{8} & \frac{1}{8} \end{pmatrix}$

(6) 1行目に3行目の3倍を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{1}{8} & -\frac{1}{8} & \frac{3}{8} \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{3}{8} & \frac{5}{8} & \frac{1}{8} \end{pmatrix}$

(7) 2行目から3行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{1}{8} & -\frac{1}{8} & \frac{3}{8} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{5}{8} & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{3}{8} & \frac{5}{8} & \frac{1}{8} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

逆行列は、

$\begin{pmatrix} \frac{1}{8} & -\frac{1}{8} & \frac{3}{8} \\ \frac{5}{8} & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} \\ \frac{3}{8} & \frac{5}{8} & \frac{1}{8} \end{pmatrix} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 5 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix}$

となります。