与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の行列式 $\det(A)$ を計算します。

$\det(A) = 1(-1\cdot1 - 2\cdot(-1)) - 2(-1\cdot1 - 2\cdot2) + (-1)(-1\cdot(-1) - (-1)\cdot2)$

$= 1(-1+2) - 2(-1-4) - 1(1+2)$

$= 1(1) - 2(-5) - 1(3)$

$= 1 + 10 - 3 = 8$

$\det(A) = 8$ となります。

次に、余因子行列 $C$ を求めます。

$C_{11} = (-1)^{1+1}((-1)(1) - (2)(-1)) = -1 + 2 = 1$

$C_{12} = (-1)^{1+2}((-1)(1) - (2)(2)) = -(-1-4) = 5$

$C_{13} = (-1)^{1+3}((-1)(-1) - (-1)(2)) = 1 + 2 = 3$

$C_{21} = (-1)^{2+1}((2)(1) - (-1)(-1)) = -(2-1) = -1$

$C_{22} = (-1)^{2+2}((1)(1) - (-1)(2)) = 1+2 = 3$

$C_{23} = (-1)^{2+3}((1)(-1) - (2)(2)) = -(-1-4) = 5$

$C_{31} = (-1)^{3+1}((2)(2) - (-1)(-1)) = 4-1 = 3$

$C_{32} = (-1)^{3+2}((1)(2) - (-1)(-1)) = -(2-1) = -1$

$C_{33} = (-1)^{3+3}((1)(-1) - (2)(-1)) = -1+2 = 1$

したがって、余因子行列 $C$ は

$C = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ -1 & 3 & 5 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

次に、$C$ の転置行列 $C^T$ を求めます。

$C^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 5 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix}$

最後に、逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 5 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/8 & -1/8 & 3/8 \\ 5/8 & 3/8 & -1/8 \\ 3/8 & 5/8 & 1/8 \end{pmatrix}$