与えられた3x3の行列が正則であるかどうかを、掃き出し法を使って判定する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 2 \\ 5 & 7 & 3 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3x3の行列が正則であるかどうかを、掃き出し法を使って判定する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 0 \\

2 & 4 & 2 \\

5 & 7 & 3

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列が正則であるかどうかは、その行列の行列式が0でないかどうかで判定できます。行列式が0でなければ正則、0であれば正則ではありません。掃き出し法は、与えられた行列に基本変形を繰り返し適用し、行列式を計算しやすくする（例えば、上三角行列にする）ために使用できます。掃き出し法で単位行列に変形できれば正則、そうでなければ正則ではありません。また、途中で行がすべて0になった場合も正則ではありません。

まず与えられた行列をAとします。

$A = \begin{pmatrix}

1 & 2 & 0 \\

2 & 4 & 2 \\

5 & 7 & 3

\end{pmatrix}$

1行目を基準に2行目と3行目を掃き出す。

2行目から1行目の2倍を引きます。

3行目から1行目の5倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 0 \\

0 & 0 & 2 \\

0 & -3 & 3

\end{pmatrix}$

2行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 0 \\

0 & -3 & 3 \\

0 & 0 & 2

\end{pmatrix}$

この行列は上三角行列であり、対角成分は1, -3, 2です。行列式はこれらの積で計算できます。

$1 \times (-3) \times 2 = -6$

3. 最終的な答え

行列式は-6であり、0ではないため、与えられた行列は正則です。

正則である。