X1という問題で、いくつかの小問に答えます。 (1) $(x+2)^2(4x-5)$ を展開して整理したときの定数項と $x^2$ の項の係数を求めます。 (2) 2次関数 $y = x^2 + 6x + 2$ のグラフの頂点の座標を求め、そのグラフを $x$ 軸方向に4, $y$ 軸方向に3だけ平行移動したグラフを表す2次関数を求めます。 (3) 不等式 $|x-1| < 3$ の解を求め、$|x-1| < 3$ が $x < 4$ であるための条件 (必要条件、十分条件、など) を選択肢から選びます。 (4) 箱ひげ図から四分位範囲を求め、箱ひげ図と矛盾する分析結果を選択肢から選びます。

1. 問題の内容

X1という問題で、いくつかの小問に答えます。

(1) $(x+2)^2(4x-5)$ を展開して整理したときの定数項と $x^2$ の項の係数を求めます。

(2) 2次関数 $y = x^2 + 6x + 2$ のグラフの頂点の座標を求め、そのグラフを $x$ 軸方向に4, $y$ 軸方向に3だけ平行移動したグラフを表す2次関数を求めます。

(3) 不等式 $|x-1| < 3$ の解を求め、$|x-1| < 3$ が $x < 4$ であるための条件 (必要条件、十分条件、など) を選択肢から選びます。

(4) 箱ひげ図から四分位範囲を求め、箱ひげ図と矛盾する分析結果を選択肢から選びます。

2. 解き方の手順

(1)

$(x+2)^2(4x-5)$ を展開します。

$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$ なので、

$(x^2 + 4x + 4)(4x-5) = 4x^3 + 16x^2 + 16x - 5x^2 - 20x - 20 = 4x^3 + 11x^2 - 4x - 20$

定数項は -20 です。

$x^2$ の項の係数は 11 です。

(2)

$y = x^2 + 6x + 2$ を平方完成します。

$y = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 2 = (x+3)^2 - 7$

頂点の座標は $(-3, -7)$ です。

平行移動後のグラフは、

$y - 3 = (x - 4 + 3)^2 - 7$

$y = (x - 1)^2 - 7 + 3$

$y = (x - 1)^2 - 4$

$y = x^2 - 2x + 1 - 4$

$y = x^2 - 2x - 3$

(3)

$|x-1| < 3$ を解きます。

$-3 < x-1 < 3$

$-3 + 1 < x < 3 + 1$

$-2 < x < 4$

$|x-1| < 3$ すなわち $-2 < x < 4$ は、$x < 4$ であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。

(例：$x = -3$ は $x<4$ を満たしますが、$|x-1| < 3$ を満たしません。)

(4)

箱ひげ図から、第一四分位数は24、第三四分位数は34なので、

四分位範囲は $34 - 24 = 10$ mです。

箱ひげ図と矛盾する選択肢を検討します。

1. 15m の生徒はいない: 箱ひげ図の最小値が18なので、これは正しい。

2. 40m以上の生徒がいる: 箱ひげ図の最大値が43なので、これは正しい。

3. 半数以上の生徒は29m以上である：箱ひげ図の中央値が29mなので正しい。

4. 24m以下の生徒は4人以下である: 箱ひげ図の第一四分位数が24mなので、25%の生徒が24m以下です。20人の25%は5人なので、4人以下であるという記述は矛盾します。

3. 最終的な答え

(1) 定数項: -20, $x^2$ の項の係数: 11

(2) 頂点の座標: (-3, -7), $y = x^2 - 2x - 3$

(3) $-2 < x < 4$, 3

(4) 10, 4