与えられた6つの二次関数について、それぞれのグラフの軸と頂点を求める問題です。 (1) $y=x^2-4x$ (2) $y=-x^2+3x-2$ (3) $y=2x^2+8x+12$ (4) $y=-2x^2+10x-7$ (5) $y=3x^2-5x+1$ (6) $y=-\frac{1}{3}x^2+2x+1$

1. 問題の内容

与えられた6つの二次関数について、それぞれのグラフの軸と頂点を求める問題です。

(1) $y=x^2-4x$

(2) $y=-x^2+3x-2$

(3) $y=2x^2+8x+12$

(4) $y=-2x^2+10x-7$

(5) $y=3x^2-5x+1$

(6) $y=-\frac{1}{3}x^2+2x+1$

2. 解き方の手順

各二次関数を平方完成の形に変形し、そこから軸と頂点を求めます。平方完成とは、$y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形することです。このとき、軸は $x=p$、頂点は $(p, q)$ となります。

(1) $y = x^2 - 4x$

$y = (x^2 - 4x + 4) - 4$

$y = (x - 2)^2 - 4$

(2) $y = -x^2 + 3x - 2$

$y = -(x^2 - 3x) - 2$

$y = -(x^2 - 3x + \frac{9}{4}) + \frac{9}{4} - 2$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{4}$

(3) $y = 2x^2 + 8x + 12$

$y = 2(x^2 + 4x) + 12$

$y = 2(x^2 + 4x + 4) - 8 + 12$

$y = 2(x + 2)^2 + 4$

(4) $y = -2x^2 + 10x - 7$

$y = -2(x^2 - 5x) - 7$

$y = -2(x^2 - 5x + \frac{25}{4}) + \frac{25}{2} - 7$

$y = -2(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{11}{2}$

(5) $y = 3x^2 - 5x + 1$

$y = 3(x^2 - \frac{5}{3}x) + 1$

$y = 3(x^2 - \frac{5}{3}x + \frac{25}{36}) - \frac{25}{12} + 1$

$y = 3(x - \frac{5}{6})^2 - \frac{13}{12}$

(6) $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 1$

$y = -\frac{1}{3}(x^2 - 6x) + 1$

$y = -\frac{1}{3}(x^2 - 6x + 9) + 3 + 1$

$y = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 4$

3. 最終的な答え

(1) 軸：$x = 2$, 頂点：$(2, -4)$

(2) 軸：$x = \frac{3}{2}$, 頂点：$(\frac{3}{2}, \frac{1}{4})$

(3) 軸：$x = -2$, 頂点：$(-2, 4)$

(4) 軸：$x = \frac{5}{2}$, 頂点：$(\frac{5}{2}, \frac{11}{2})$

(5) 軸：$x = \frac{5}{6}$, 頂点：$(\frac{5}{6}, -\frac{13}{12})$

(6) 軸：$x = 3$, 頂点：$(3, 4)$