関数 $y=2x^2-4ax$ ($0 \leq x \leq 2$) について、以下の問いに答える。 (1) 最小値を求める。 (2) 最大値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y=2x^2-4ax$ ($0 \leq x \leq 2$) について、以下の問いに答える。

(1) 最小値を求める。

(2) 最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 最小値を求める。

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = 2x^2 - 4ax = 2(x^2 - 2ax)$

$= 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) = 2((x-a)^2 - a^2)$

$= 2(x-a)^2 - 2a^2$

したがって、この関数の頂点の座標は $(a, -2a^2)$ である。定義域は $0 \leq x \leq 2$ であるので、軸 $x=a$ の位置によって場合分けをする。

(i) $a < 0$ のとき、区間 $0 \leq x \leq 2$ で $x$ が増加するにつれて $y$ は増加する。したがって、$x=0$ で最小値をとる。最小値は、$y = 2(0)^2 - 4a(0) = 0$

(ii) $0 \leq a \leq 2$ のとき、頂点が区間内に存在するので、$x=a$ で最小値をとる。最小値は、 $y = -2a^2$

(iii) $a > 2$ のとき、区間 $0 \leq x \leq 2$ で $x$ が増加するにつれて $y$ は減少する。したがって、$x=2$ で最小値をとる。最小値は、$y = 2(2)^2 - 4a(2) = 8 - 8a = 8(1-a)$

(2) 最大値を求める。

同様に軸の位置で場合分けする。

(i) $a \leq 1$ のとき、$x=2$ で最大値をとる。最大値は $8 - 8a$

(ii) $a > 1$ のとき、$x=0$ で最大値をとる。最大値は $0$

最終的に、

(i) $a \leq 0$ のとき、$x=2$ で最大値 $8-8a$

(ii) $0 < a \leq 1$ のとき、$x=2$ で最大値 $8-8a$

(iii) $a > 1$ のとき、$x=0$ で最大値 $0$

3. 最終的な答え

(1) 最小値

$a < 0$ のとき、0

$0 \leq a \leq 2$ のとき、$-2a^2$

$a > 2$ のとき、$8(1-a)$

(2) 最大値

$a \leq 1$ のとき、$8-8a$

$a > 1$ のとき、$0$