$a$ を定数として、以下の2つの不等式を解く問題です。 (1) $ax - 1 > 0$ (2) $x - 2 > 2a - ax$

1. 問題の内容

$a$ を定数として、以下の2つの不等式を解く問題です。

(1) $ax - 1 > 0$

(2) $x - 2 > 2a - ax$

2. 解き方の手順

(1) $ax - 1 > 0$

まず、$ax > 1$ と変形します。ここで、$a$ の値によって場合分けします。

(i) $a > 0$ のとき: 両辺を $a$ で割ると、$x > \frac{1}{a}$

(ii) $a < 0$ のとき: 両辺を $a$ で割ると不等号の向きが変わるので、$x < \frac{1}{a}$

(iii) $a = 0$ のとき: $0x > 1$ となり、これを満たす $x$ は存在しません。よって、解なし。

(2) $x - 2 > 2a - ax$

まず、$x$ の項を左辺に、定数項を右辺に集めます。

$x + ax > 2a + 2$

$x(1 + a) > 2(a + 1)$

ここで、$1 + a$ の値によって場合分けします。

(i) $1 + a > 0$ つまり $a > -1$ のとき: 両辺を $1 + a$ で割ると、$x > \frac{2(a + 1)}{a + 1} = 2$

(ii) $1 + a < 0$ つまり $a < -1$ のとき: 両辺を $1 + a$ で割ると不等号の向きが変わるので、$x < \frac{2(a + 1)}{a + 1} = 2$

(iii) $1 + a = 0$ つまり $a = -1$ のとき: $0x > 0$ となり、これを満たす $x$ は存在しません。よって、解なし。

3. 最終的な答え

(1)

$a > 0$ のとき: $x > \frac{1}{a}$

$a < 0$ のとき: $x < \frac{1}{a}$

$a = 0$ のとき: 解なし

(2)

$a > -1$ のとき: $x > 2$

$a < -1$ のとき: $x < 2$

$a = -1$ のとき: 解なし